Limit cycles and Lie symmetries ∗

Given a planar vector field U which generates the Lie symmetry of some other vector field X , we prove a new criterion to control the stability of the periodic orbits of U . The problem is linked to a classical problem proposed by A.T. Winfree in the seventies about the existence of isochrons of limit cycles (the question suggested by the study of biological clocks), already answered by Guckenheimer using a different terminology. We apply our criterion to give upper bounds of the number of limit cycles for some families of vector fields as well as to provide a class of vector fields with a prescribed number of hyperbolic limit cycles. Finally we show how this procedure solves the problem of the hyperbolicity of periodic orbits in problems where other criteria, like the classical one of the divergence, fail. Résumé Etant donné un champ de vecteurs U du plan qui produit une symétrie de Lie d’un autre champ de vecteurs X , nous présentons un nouveau critère pour contrler la stabilité des orbites périodiques du champ U . Ce problème est lié à un problème classique proposé par A.T. Winfree dans les années ’70 au sujet de l’existence des isochrones de cycles limite (une question apparue dans l’étude des horloges biologiques), déjà répondu par Guckenheimer en utilisant une terminologie différente. Nous appliquons notre critère pour donner un borne supérieur du nombre de cycles limite pour quelques familles de champs de vecteurs aussi bien que pour fournir à une classe de champs de vecteurs un nombre prescrit de cycles limite hyperboliques. Finalement, on montre comment ce procédé résout le problème de l’hyperbolicité de cycles limite dans des problemes où d’autres critères, comme le critère classique de la divergence, échouent. ∗(a) Partially supported by the Spanish Ministery of Science and Technology grant number BFM2003-00336 and Junta de Andalućıa grant number TIC-0130. (b, c) Partially supported by the DGES grant number BFM2002-04236-C02-2 and CONACIT grant number 2001SGR00173.